Kalkulus Contoh

$h (t) = \frac{1 + t}{{(2 t^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = 1 + t$ dan $g (t) = {(2 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{({(2 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [1 + t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + t$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} (0 + \frac{d}{d t} [t]) - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan ${(2 t^{2} + 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} + 1)}^{2}]}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = 2 t^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 t^{2} + 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (2 u \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 t^{2} + 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - (1 + t) (2 (2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} + 1)}^{2} - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 4.2

Faktorkan $2 t^{2} + 1$ dari ${(2 t^{2} + 1)}^{2} - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $2 t^{2} + 1$ dari ${(2 t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) - 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $2 t^{2} + 1$ dari $- 2 (1 + t) ((2 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) + (2 t^{2} + 1) (- 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 4.2.3

Faktorkan $2 t^{2} + 1$ dari $(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1) + (2 t^{2} + 1) (- 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{{(2 t^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2 t^{2} + 1$ dari ${(2 t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{(2 t^{2} + 1) {(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(2 t^{2} + 1) (2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1]))}{(2 t^{2} + 1) {(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2} + 1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 10

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $4 t$ dan $0$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 2 (1 + t) (4 t)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 11.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 (1 + t) t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{2} + 1 + (- 8 \cdot 1 - 8 t) t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 \cdot 1 t - 8 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.3.1.2

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.3.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 1 - 8 t - 8 t^{2}}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.3.2

Kurangi $8 t^{2}$ dengan $2 t^{2}$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 1 - 8 t}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 6 t^{2} - 8 t + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 6 t^{2}$ .

$\frac{- (6 t^{2}) - 8 t + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 8 t$ .

$\frac{- (6 t^{2}) - (8 t) + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (6 t^{2}) - (8 t)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t) + 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.8

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t) - 1 (- 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (6 t^{2} + 8 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (6 t^{2} + 8 t - 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.10

Tulis kembali $- (6 t^{2} + 8 t - 1)$ sebagai $- 1 (6 t^{2} + 8 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (6 t^{2} + 8 t - 1)}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 12.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{6 t^{2} + 8 t - 1}{{(2 t^{2} + 1)}^{3}}$