Kalkulus Contoh

$h (z) = \frac{1 - 2 z}{z^{2} - z - 6}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ adalah $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ di mana $f (z) = 1 - 2 z$ dan $g (z) = z^{2} - z - 6$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [1 - 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 z$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $1$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $1$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (0 + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [- 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 2 z$ terhadap $z$ adalah $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \frac{d}{d z} [z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \cdot - 2 - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $z^{2} - z - 6$ .

$\frac{- 2 \cdot (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $z^{2} - z - 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- z$ terhadap $z$ adalah $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.12

Karena $- 6$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 6$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + 0)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.13

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Tambahkan $2 z - 1$ dan $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.13.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.13.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 z$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - (2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.13.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- 1) - (2 z)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1 + 2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 2.13.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 3

Naikkan $2 z - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} (2 z - 1))}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 4

Naikkan $2 z - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} {(2 z - 1)}^{1})}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{1 + 1}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 8

Kalikan ${(2 z - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 z^{2} - 2 (- z) - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.3

Tulis kembali ${(2 z - 1)}^{2}$ sebagai $(2 z - 1) (2 z - 1)$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4

Perluas $(2 z - 1) (2 z - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z - 1) - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.2

Kalikan $z$ dengan $z$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.5.1.2.1

Pindahkan $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.2.2

Kalikan $z$ dengan $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.5.2

Kurangi $2 z$ dengan $- 2 z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 2 z^{2}$ dan $4 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} + 2 z + 12 - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.3

Kurangi $4 z$ dengan $2 z$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 12 + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.2.4

Tambahkan $12$ dan $1$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Faktorkan $z^{2} - z - 6$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 6$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 3, 2$

Langkah 9.3.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{((z - 3) (z + 2))}^{2}}$

Langkah 9.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(z - 3) (z + 2)$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z - 3)}^{2} {(z + 2)}^{2}}$