Kalkulus Contoh

$r (t) = \frac{{(5 t - 6)}^{4}}{3 t^{2} + 4}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = {(5 t - 6)}^{4}$ dan $g (t) = 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [{(5 t - 6)}^{4}] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{4}$ dan $g (t) = 5 t - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $3 t^{2} + 4$ .

$\frac{4 \cdot (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 t - 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 t$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.6

Karena $- 6$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 6$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + 0) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \cdot 5 - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.9

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.11

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.12

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Tambahkan $6 t$ dan $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.13.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(20 (3 t^{2}) + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan ${(5 t - 6)}^{3}$ dari $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Faktorkan ${(5 t - 6)}^{3}$ dari $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.2

Faktorkan ${(5 t - 6)}^{3}$ dari $- 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.1.3

Faktorkan ${(5 t - 6)}^{3}$ dari ${(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $2$ dari $20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $20 \cdot 3 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $20 \cdot 4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.3

Faktorkan $2$ dari $- 6 (5 t - 6) t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.4

Faktorkan $2$ dari $2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.2.5

Faktorkan $2$ dari $2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.4

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.6

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.7

Kalikan $- 3$ dengan $- 6$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t + 18) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.8

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t \cdot t + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.9

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.9.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 (t \cdot t) + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.9.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t^{2} + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.10

Kurangi $15 t^{2}$ dengan $30 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (15 t^{2} + 40 + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.2.11

Susun kembali suku-suku.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} \cdot 2 (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 4.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{2 {(5 t - 6)}^{3} (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$