Kalkulus Contoh

$g (x) = x^{2} \log_{3} (\sqrt{x - 1})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{3} (x)$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Turunan dari $\log_{3} (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 11

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 12

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 13

Kalikan $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 15

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 15.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 16

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 16.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{2 {(x - 1)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 17

Sederhanakan.

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x - 1] + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 18

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 19

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 20

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} (1 + 0) + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 21

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} \cdot 1 + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 21.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 22

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 (x - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Langkah 23

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2}}{(2 x + 2 \cdot - 1) \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Langkah 23.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Langkah 23.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$

Langkah 23.3.2

Untuk menuliskan $\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$ .

$\frac{x^{2}}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)} + \frac{\log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Langkah 23.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x) (2 x \ln (3) - 2 \ln (3))}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$

Langkah 23.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + 2 x (2 x \ln (3) - 2 \ln (3)) \log_{3} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 x \ln (3) - 2 \ln (3)}$