Kalkulus Contoh

$g (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{2 x} - 1$ dan $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1] - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 4.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} + (- e^{2 x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.1.3

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.3

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.3.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x}) - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{x + 2 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.3.3

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.1.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5.2

Kurangi $e^{3 x}$ dengan $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$