Kalkulus Contoh

$g (x) = (3 x^{2} + 7) (3 x + \sqrt{x})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x^{2} + 7) (3 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 3 x^{2} + 7$ dan $g (x) = 3 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [3 x + x^{\frac{1}{2}}] + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + x^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 8.3

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 13

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x + 0)$

Langkah 14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tambahkan $6 x$ dan $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (3 x + x^{\frac{1}{2}}) (6 x)$

Langkah 14.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $3 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 \cdot (3 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (6 (3 x) + 6 x^{\frac{1}{2}}) x$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 6 (3 x) x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x \cdot x + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 (x^{1} x) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 (x^{1} x^{1}) + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{1 + 1} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 15.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Langkah 15.3.8

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 15.3.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Langkah 15.3.10

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 18 x^{2} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.4

Susun kembali suku-suku.

$18 x^{2} + (3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Perluas $(3 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) (3 x^{2} + 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2} + 7) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 7) + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$18 x^{2} + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 3 \cdot 7 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.2

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.5.1

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} x^{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.5.2

Faktorkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari $x^{2}$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.6

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.5.2.7

Gabungkan $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dan $7$ .

$18 x^{2} + 9 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.6

Tambahkan $18 x^{2}$ dan $9 x^{2}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 15.7

Untuk menuliskan $6 x^{\frac{3}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.8

Gabungkan $6 x^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.10.1

Faktorkan $3 x^{\frac{3}{2}}$ dari $3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.10.1.1

Pindahkan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.1.2

Faktorkan $3 x^{\frac{3}{2}}$ dari $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.1.3

Faktorkan $3 x^{\frac{3}{2}}$ dari $6 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.1.4

Faktorkan $3 x^{\frac{3}{2}}$ dari $3 x^{\frac{3}{2}} (1) + 3 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15.10.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$27 x^{2} + 21 + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$