Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x^{4} (\cos (x) + \sin (x)))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} \frac{d}{d x} [x^{4} (\cos (x) + \sin (x))]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = \cos (x) + \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)] + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + \sin (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 5

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + (\cos (x) + \sin (x)) (4 x^{3}))$

Langkah 6.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\cos (x) + \sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 \cdot (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x) + \cos (x)) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 (\cos (x) + \sin (x)) x^{3})$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + (4 \cos (x) + 4 \sin (x)) x^{3})$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$

Langkah 7.5

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)} (x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3})$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)}$

Langkah 7.6

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} \cos (x) + x^{4} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} \cos (x)$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} \sin (x)}$

Langkah 7.6.2

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} \sin (x)$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))}$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} (\cos (x)) + x^{4} (\sin (x))$ .

$(x^{4} (- \sin (x)) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(- x^{4} \sin (x) + x^{4} \cos (x) + 4 \cos (x) x^{3} + 4 \sin (x) x^{3}) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.8

Terapkan sifat distributif.

$- x^{4} \sin (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $- x^{4} \sin (x)$ .

$x^{4} (- \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 7.9.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sin (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.2

Gabungkan $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} \cos (x) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.3.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $x^{4} \cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{4} (\cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 7.9.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.4

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{\cos (x) + \sin (x)}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.5.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $4 \cos (x) x^{3}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.5.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + x^{3} (4 \cos (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + 4 \cos (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.6

Gabungkan $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ dan $4$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \cos (x) + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.7

Gabungkan $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ dan $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) x^{3} \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.8.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $4 \sin (x) x^{3}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{4} (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.8.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4} (\cos (x) + \sin (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

Langkah 7.9.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + x^{3} (4 \sin (x)) \frac{1}{x^{3} (x (\cos (x) + \sin (x)))}$

Langkah 7.9.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + 4 \sin (x) \frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.9.9

Gabungkan $\frac{1}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ dan $4$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))} \sin (x)$

Langkah 7.9.10

Gabungkan $\frac{4}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ dan $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.11

Untuk menuliskan $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.12

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(\cos (x) + \sin (x)) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.12.1

Kalikan $\frac{- \sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) + \sin (x)}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{(\cos (x) + \sin (x)) x} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.12.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(\cos (x) + \sin (x)) x$ .

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(- \sin (x) + \cos (x)) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.14

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))} + \frac{4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sin (x) x + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.16

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (x) x$ .

$\frac{- (\sin (x) x) + \cos (x) x + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.17

Faktorkan $- 1$ dari $\cos (x) x$ .

$\frac{- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.18

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (x) x) - (- \cos (x) x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) + 4 \cos (x) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.19

Faktorkan $- 1$ dari $4 \cos (x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.20

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (x) x - \cos (x) x) - (- 4 \cos (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) + 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.21

Faktorkan $- 1$ dari $4 \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.22

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x)) - (- 4 \sin (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.23

Tulis kembali $- (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ sebagai $- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x))}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.24

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$

Langkah 7.25

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (x) x - \cos (x) x - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$ .

$- \frac{x \sin (x) - x \cos (x) - 4 \cos (x) - 4 \sin (x)}{x (\cos (x) + \sin (x))}$