Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = | x^{2} - x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = | x |$ dan $g (x) = x^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Langkah 2.2

Turunan dari $| u_{2} |$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Langkah 3

Kalikan $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ dengan $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 4

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 5

Naikkan $x^{2} - x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 6

Naikkan $x^{2} - x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Langkah 13

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Langkah 14.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Langkah 14.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Langkah 14.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Langkah 14.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Langkah 14.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Langkah 14.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Langkah 14.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Langkah 14.3.3

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Langkah 14.3.4

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Langkah 14.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Langkah 14.3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Langkah 14.3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Langkah 14.3.5.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Langkah 14.3.5.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Langkah 14.3.5.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Langkah 14.3.5.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Langkah 14.3.5.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Langkah 14.3.6

Terapkan sifat distributif.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.7.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.7.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.7.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.7.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Langkah 14.3.8

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.8.1

Pindahkan $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Langkah 14.3.8.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.8.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Langkah 14.3.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Langkah 14.3.8.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Langkah 14.3.9

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.9.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Langkah 14.3.9.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{3}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Langkah 14.3.9.3

Kalikan dengan $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.9.4

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Langkah 14.3.9.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Langkah 14.3.10

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.10.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Langkah 14.3.10.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 14.3.10.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Langkah 14.3.10.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Langkah 14.4

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 14.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Langkah 14.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Langkah 14.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 14.6

Hapus faktor persekutuan dari $x - 1$ dan ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Langkah 14.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.6.2.1

Faktorkan $x - 1$ dari $x {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Langkah 14.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Langkah 14.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Langkah 14.7

Kalikan $2 x - 1$ dengan $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$