Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Langkah 2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Langkah 3

Kalikan $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 5.8.3

Kalikan $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ dengan $\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{x^{2} {(3 x - 1)}^{2}}$

Langkah 6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan $3 x - 1$ dari $x^{2} {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Langkah 6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.4.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.4.2

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x \cdot x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1 + 2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{3} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.5.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - 1 \cdot x^{2}}$

Langkah 7.5.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Langkah 7.6

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Langkah 7.6.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{3 x^{3} - x^{2}}$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{3 x^{3} - x^{2}}$

Langkah 7.7

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) - x^{2}}$

Langkah 7.7.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Langkah 7.7.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x - 1)}$

Langkah 7.8

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Langkah 7.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Langkah 7.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x - 2}{x (3 x - 1)}$