Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ sebagai ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 10

Pindahkan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 12

Kalikan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 12.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 12.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 13

Sederhanakan $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Langkah 14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 6 x - 2$ dan $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.4

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.6.2

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Langkah 15.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Langkah 15.8

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Langkah 15.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Langkah 15.10

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Langkah 15.11

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

Langkah 15.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.12.1

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

Langkah 15.12.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

Langkah 16.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4.3

Kalikan $6$ dengan $7$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4.4

Kalikan $7$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4.5

Kalikan $7$ dengan $6$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

Langkah 16.4.6

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

Langkah 16.4.7

Tambahkan $42 x$ dan $42 x$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

Langkah 16.4.8

Tambahkan $- 14$ dan $24$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

Langkah 16.5

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

Langkah 16.6

Faktorkan $4$ dari $12 x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Faktorkan $4$ dari $12 x$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

Langkah 16.6.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

Langkah 16.6.3

Faktorkan $4$ dari $4 (3 x) + 4 (- 1)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Langkah 16.7

Kalikan $84 x + 10$ dengan $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ .

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Langkah 16.8

Hapus faktor persekutuan dari $84 x + 10$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.8.1

Faktorkan $2$ dari $84 x$ .

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Langkah 16.8.2

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Langkah 16.8.3

Faktorkan $2$ dari $2 (42 x) + 2 (5)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Langkah 16.8.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.8.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Langkah 16.8.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Langkah 16.8.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$