Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} (x)})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + \sin^{2} (x)}$ sebagai ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + \sin^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 10

Pindahkan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 12

Kalikan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 12.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 12.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 13

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan $2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Langkah 13.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Langkah 13.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Langkah 14

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 14.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ adalah $n {u_{3}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 15

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ .

$\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Langkah 15.2

Gabungkan $\sin (x)$ dan $\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 15.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sin (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 15.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 15.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 16

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \cos (x)$

Langkah 17

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$ dan $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Langkah 17.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$