Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2} + 5 x + 1}$ sebagai ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x^{2} + 5 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 10

Pindahkan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1])$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $\frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 12

Kalikan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ dengan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan ${(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3 ({(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 12.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 12.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 12.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 13

Sederhanakan $3 {(x^{2} + 5 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 1]$

Langkah 14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 16

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 18

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 19

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5 + 0)$

Langkah 20

Tambahkan $2 x + 5$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)} (2 x + 5)$

Langkah 21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 (5 x) + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Langkah 21.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3 \cdot 1} (2 x + 5)$

Langkah 21.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$

Langkah 21.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 x^{2} + 15 x + 3}$

Langkah 21.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 15 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 15 x + 3}$

Langkah 21.4.2

Faktorkan $3$ dari $15 x$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3}$

Langkah 21.4.3

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (5 x) + 3 (1)}$

Langkah 21.4.4

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2}) + 3 (5 x)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)}$

Langkah 21.4.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + 5 x) + 3 (1)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$

Langkah 21.5

Kalikan $2 x + 5$ dengan $\frac{1}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$ .

$\frac{2 x + 5}{3 (x^{2} + 5 x + 1)}$