Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x + 1$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 \cdot (2 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.10

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.11

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.12.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 3.12.3

Gabungkan $\frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ dan $\sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$ .

$- \frac{(3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 (2 x)$ dan $- 2 (3 x)$ .

$- \frac{(2 \cdot 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.1.2

Kurangi $2 \cdot 3 x$ dengan $2 \cdot 3 x$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.1.3

Tambahkan $3 \cdot - 1$ dan $0$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{(- 3 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{(- 3 - 2) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3.3

Kurangi $2$ dengan $- 3$ .

$- \frac{- 5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 4.4.3

Kalikan $\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$