Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Langkah 2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Langkah 3

Kalikan $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 9

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 10

Kalikan $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ dengan $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Langkah 11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Faktorkan $e^{x} + 1$ dari $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Langkah 11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.3.1.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.3.1.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Kurangi $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.4.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Langkah 12.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali $e^{2 x}$ sebagai ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Langkah 12.5.2

Biarkan $u = e^{x}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Langkah 12.5.3

Faktorkan $u$ dari $u^{2} + u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.1

Faktorkan $u$ dari $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Langkah 12.5.3.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Langkah 12.5.3.3

Faktorkan $u$ dari $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Langkah 12.5.3.4

Faktorkan $u$ dari $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Langkah 12.5.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Langkah 12.6

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Langkah 12.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$