Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Langkah 1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ sebagai $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Langkah 1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Langkah 2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 3

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Langkah 3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Langkah 3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Langkah 3.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 4.3.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Langkah 6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Langkah 9.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 11

Kalikan $\frac{1}{1 + x^{3}}$ dengan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Langkah 12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Langkah 13.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Langkah 13.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$