Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (\arctan (5 x))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, 5 x)$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arctan (5 x)$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, 5 x)$ . Oleh karena itu, $\sin (\arctan (5 x))$ adalah $\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}]$

Langkah 1.2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 (x))}^{2}}}]$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 5^{2} x^{2}}}]$

Langkah 1.2.2.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 25 x^{2}}}]$

Langkah 1.2.2.3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + 25 x^{2}}$ sebagai ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + 25 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 11.3

Pindahkan ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 11.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 25 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 13

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 14

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 15

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 16

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Kalikan $25$ dengan $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 16.2

Gabungkan $- 25$ dan $\frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 16.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 18

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 18.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (25 x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 18.3

Kalikan $25$ dengan $- 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 18.4

Gabungkan $\frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x \cdot x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 19

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 20

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 21

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{1 + 1}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 22

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{2}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 23

Faktorkan $2$ dari $- 50 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 24

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 ({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 24.2

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 24.3

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 25

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 26

Untuk menuliskan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 27

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 28

Kalikan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 28.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 28.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 28.4

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{1} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 29

Sederhanakan ${(1 + 25 x^{2})}^{1}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 25 x^{2} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 30

Kurangi $25 x^{2}$ dengan $25 x^{2}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 31

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 \frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Langkah 32

Tulis kembali $\frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$ sebagai hasil kali.

$5 (\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + 25 x^{2}})$

Langkah 33

Kalikan $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 25 x^{2})}$

Langkah 34

Kalikan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + 25 x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1

Kalikan ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1 + 25 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 34.1.1

Naikkan $1 + 25 x^{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Langkah 34.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 34.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 34.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 34.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 35

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 36

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5}{{(25 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$