Kalkulus Contoh

$f (z) = z^{2} \sqrt[3]{2 z - 5}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2 z - 5}$ sebagai ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ adalah $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ di mana $f (z) = z^{2}$ dan $g (z) = {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [{(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ adalah $f' (g (z)) g' (z)$ di mana $f (z) = z^{\frac{1}{3}}$ dan $g (z) = 2 z - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$z^{2} (\frac{{(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $z^{2}$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 z - 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 10

Karena $2$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $2 z$ terhadap $z$ adalah $2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 12

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 13

Karena $- 5$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- 5$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + 0) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 2 + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 14.2

Gabungkan $\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $2$ .

$\frac{z^{2} \cdot 2}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 14.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $z^{2}$ .

$\frac{2 \cdot z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Langkah 15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (2 z)$

Langkah 16

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$

Langkah 17

Gabungkan $\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $2 {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Pindahkan ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 17.2

Untuk menuliskan $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 17.3

Gabungkan $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ dan $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 17.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 z^{2} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19

Kalikan ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ dengan ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z ({(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{1}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 20

Sederhanakan $6 z {(2 z - 5)}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z - 5)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z \cdot z + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2.1.2

Kalikan $z$ dengan $z$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.2.1.2.1

Pindahkan $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2.1.2.2

Kalikan $z$ dengan $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $6$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2.2

Tambahkan $2 z^{2}$ dan $12 z^{2}$ .

$\frac{14 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3

Faktorkan $2 z$ dari $14 z^{2} - 30 z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.3.1

Faktorkan $2 z$ dari $14 z^{2}$ .

$\frac{2 z (7 z) - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3.2

Faktorkan $2 z$ dari $- 30 z$ .

$\frac{2 z (7 z) + 2 z (- 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3.3

Faktorkan $2 z$ dari $2 z (7 z) + 2 z (- 15)$ .

$\frac{2 z (7 z - 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$