Kalkulus Contoh

$f (z) = (z^{14} + z^{7} + 1) (z^{8} - z)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ adalah $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ di mana $f (z) = z^{14} + z^{7} + 1$ dan $g (z) = z^{8} - z$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) \frac{d}{d z} [z^{8} - z] + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $z^{8} - z$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (\frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 8$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} + \frac{d}{d z} [- z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $- z$ terhadap $z$ adalah $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - \frac{d}{d z} [z]) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1 \cdot 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) \frac{d}{d z} [z^{14} + z^{7} + 1]$

Langkah 2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $z^{14} + z^{7} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (\frac{d}{d z} [z^{14}] + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 14$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + \frac{d}{d z} [z^{7}] + \frac{d}{d z} [1])$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ adalah $n z^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + \frac{d}{d z} [1])$

Langkah 2.9

Karena $1$ konstan terhadap $z$ , turunan dari $1$ terhadap $z$ adalah $0$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6} + 0)$

Langkah 2.10

Tambahkan $14 z^{13} + 7 z^{6}$ dan $0$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $1$ dari $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1$ dari $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $1$ dari $(z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $1$ dari $1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1)) + 1 ((z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$ .

$1 ((z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6}))$

Langkah 3.2

Kalikan $(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$ dengan $1$ .

$(z^{14} + z^{7} + 1) (8 z^{7} - 1) + (z^{8} - z) (14 z^{13} + 7 z^{6})$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1) + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $(8 z^{7} - 1) (z^{14} + z^{7} + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$8 z^{7} z^{14} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $z^{7}$ dengan $z^{14}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Pindahkan $z^{14}$ .

$8 (z^{14} z^{7}) + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{14 + 7} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.1.3

Tambahkan $14$ dan $7$ .

$8 z^{21} + 8 z^{7} z^{7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $z^{7}$ dengan $z^{7}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Pindahkan $z^{7}$ .

$8 z^{21} + 8 (z^{7} z^{7}) + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{21} + 8 z^{7 + 7} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambahkan $7$ dan $7$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} \cdot 1 - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - 1 z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.4

Tulis kembali $- 1 z^{14}$ sebagai $- z^{14}$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - 1 z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.5

Tulis kembali $- 1 z^{7}$ sebagai $- z^{7}$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 \cdot 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$8 z^{21} + 8 z^{14} + 8 z^{7} - z^{14} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.3

Kurangi $z^{14}$ dengan $8 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 8 z^{7} - z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.4

Kurangi $z^{7}$ dengan $8 z^{7}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + (14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.5

Perluas $(14 z^{13} + 7 z^{6}) (z^{8} - z)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Terapkan sifat distributif.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} (z^{8} - z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.5.2

Terapkan sifat distributif.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} (z^{8} - z)$

Langkah 3.4.5.3

Terapkan sifat distributif.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{13} z^{8} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.1

Kalikan $z^{13}$ dengan $z^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.1.1

Pindahkan $z^{8}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 (z^{8} z^{13}) + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{8 + 13} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.1.3

Tambahkan $8$ dan $13$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 z^{13} (- z) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{13} z + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.3

Kalikan $z^{13}$ dengan $z$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.3.1

Pindahkan $z$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z \cdot z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.3.2

Kalikan $z$ dengan $z^{13}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.3.2.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 (z^{1} z^{13}) + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{1 + 13} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $13$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 14 \cdot - 1 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.4

Kalikan $14$ dengan $- 1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{6} z^{8} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.5

Kalikan $z^{6}$ dengan $z^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.5.1

Pindahkan $z^{8}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 (z^{8} z^{6}) + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{8 + 6} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.5.3

Tambahkan $8$ dan $6$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 z^{6} (- z)$

Langkah 3.4.6.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{6} z$

Langkah 3.4.6.1.7

Kalikan $z^{6}$ dengan $z$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.7.1

Pindahkan $z$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z \cdot z^{6})$

Langkah 3.4.6.1.7.2

Kalikan $z$ dengan $z^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.7.2.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 (z^{1} z^{6})$

Langkah 3.4.6.1.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{1 + 6}$

Langkah 3.4.6.1.7.3

Tambahkan $1$ dan $6$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} + 7 \cdot - 1 z^{7}$

Langkah 3.4.6.1.8

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 14 z^{14} + 7 z^{14} - 7 z^{7}$

Langkah 3.4.6.2

Tambahkan $- 14 z^{14}$ dan $7 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$

Langkah 3.5

Gabungkan suku balikan dalam $8 z^{21} + 7 z^{14} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{14} - 7 z^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kurangi $7 z^{14}$ dengan $7 z^{14}$ .

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} + 0 - 7 z^{7}$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21}$ dan $0$ .

$8 z^{21} + 7 z^{7} - 1 + 14 z^{21} - 7 z^{7}$

Langkah 3.5.3

Kurangi $7 z^{7}$ dengan $7 z^{7}$ .

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21} + 0$

Langkah 3.5.4

Tambahkan $8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$ dan $0$ .

$8 z^{21} - 1 + 14 z^{21}$

Langkah 3.6

Tambahkan $8 z^{21}$ dan $14 z^{21}$ .

$22 z^{21} - 1$