Kalkulus Contoh

$f (y) = y \ln (11 x + 5 y)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = \ln (11 x + 5 y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (11 x + 5 y)] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = 11 x + 5 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $11 x + 5 y$ .

$y (\frac{1}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{11 x + 5 y}$ dan $y$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [11 x + 5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $11 x + 5 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (\frac{d}{d y} [11 x] + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.3

Karena $11 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $11 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (0 + \frac{d}{d y} [5 y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [5 y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.5

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 y$ terhadap $y$ adalah $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y}{11 x + 5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]) + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.6

Gabungkan $5$ dan $\frac{y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \frac{d}{d y} [y] + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} \cdot 1 + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.8

Kalikan $\frac{5 y}{11 x + 5 y}$ dengan $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y) \cdot 1$

Langkah 3.10

Kalikan $\ln (11 x + 5 y)$ dengan $1$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \ln (11 x + 5 y)$

Langkah 4

Untuk menuliskan $\ln (11 x + 5 y)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{11 x + 5 y}{11 x + 5 y}$ .

$\frac{5 y}{11 x + 5 y} + \frac{\ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x + 5 y)}{11 x + 5 y}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 y + \ln (11 x + 5 y) (11 x) + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.1.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + \ln (11 x + 5 y) (5 y)}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.1.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{5 y + 11 \ln (11 x + 5 y) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.1.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.1

Sederhanakan $11 \ln (11 x + 5 y)$ dengan memindahkan $11$ ke dalam logaritma.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + 5 \ln (11 x + 5 y) y}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.1.1.4.2

Sederhanakan $5 \ln (11 x + 5 y)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$\frac{5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $5 y + \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) x + \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) y$ .

$\frac{5 y + x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5})}{11 x + 5 y}$

Langkah 6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x \ln ({(11 x + 5 y)}^{11}) + y \ln ({(11 x + 5 y)}^{5}) + 5 y}{11 x + 5 y}$