Kalkulus Contoh

$f (y) = y \ln (1 + e^{y})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = \ln (1 + e^{y})$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (1 + e^{y})] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \ln (y)$ dan $g (y) = 1 + e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{1}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{1 + e^{y}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{y}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{y}{1 + e^{y}}$ dan $e^{y}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1$

Langkah 5.3

Kalikan $\ln (1 + e^{y})$ dengan $1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y})$

Langkah 6

Untuk menuliskan $\ln (1 + e^{y})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + e^{y}}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \frac{\ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1 + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Langkah 8.1.1.2

Kalikan $\ln (1 + e^{y})$ dengan $1$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Langkah 8.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + e^{y} \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Langkah 8.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{y} y + e^{y} \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$