Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x {(x - 4)}^{3} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.9

Kalikan ${(x - 4)}^{3}$ dengan $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ dan $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Langkah 4.2

Susun kembali suku-suku.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gunakan Teorema Binomial.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3.2.4

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali ${(x - 4)}^{2}$ sebagai $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

Langkah 4.3.4

Perluas $(x - 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Langkah 4.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Langkah 4.3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Langkah 4.3.5.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Langkah 4.3.5.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

Langkah 4.3.6

Terapkan sifat distributif.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

Langkah 4.3.7.3

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

Langkah 4.3.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1.1

Pindahkan $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

Langkah 4.3.8.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

Langkah 4.3.8.2

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Langkah 4.4

Tambahkan $x^{3}$ dan $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

Langkah 4.5

Kurangi $24 x^{2}$ dengan $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

Langkah 4.6

Tambahkan $48 x$ dan $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$