Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = 4 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x - 2$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{3} {(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.3

Pindahkan ${(4 x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.4

Gabungkan $\frac{1}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 2] + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (4 + 0) + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 4 + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.2

Gabungkan $\frac{x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Langkah 15

Kalikan ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 16

Untuk menuliskan ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 17

Gabungkan ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ dan $\frac{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19

Kalikan ${(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ dengan ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan ${(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(4 x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{4 x + {(4 x - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 20

Sederhanakan ${(4 x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{4 x + (4 x - 2) \cdot 3}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $4 x - 2$ .

$\frac{4 x + 3 \cdot (4 x - 2)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x + 3 (4 x) + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{4 x + 12 x + 3 \cdot - 2}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{4 x + 12 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.2.2

Tambahkan $4 x$ dan $12 x$ .

$\frac{16 x - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.3

Faktorkan $2$ dari $16 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1

Faktorkan $2$ dari $16 x$ .

$\frac{2 (8 x) - 6}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{2 (8 x) + 2 (- 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 22.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (8 x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (8 x - 3)}{3 {(4 x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$