Kalkulus Contoh

$f (x) = x \sqrt{5 - 3 x}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 - 3 x}$ sebagai ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 5 - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 - 3 x$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 - 3 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 15

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 17

Kalikan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 18

Untuk menuliskan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Gabungkan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Kalikan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Pindahkan ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 3 x + {(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan ${(5 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- 3 x + (5 - 3 x) \cdot 2}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5 - 3 x$ .

$\frac{- 3 x + 2 \cdot (5 - 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 3 x + 2 \cdot 5 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{- 3 x + 10 + 2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{- 3 x + 10 - 6 x}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{- 9 x + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 9 x$ .

$\frac{- (9 x) + 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.4

Tulis kembali $10$ sebagai $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x) - 1 (- 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (9 x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.6

Tulis kembali $- (9 x - 10)$ sebagai $- 1 (9 x - 10)$ .

$\frac{- 1 (9 x - 10)}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9 x - 10}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$