Kalkulus Contoh

$f (x) = x \sqrt{1 + 3 e^{x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + 3 e^{x}}$ sebagai ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + 3 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2.2

Pindahkan ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + 3 e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.7

Gabungkan $3$ dan $\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 10.3

Kalikan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 11

Untuk menuliskan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12

Gabungkan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14

Kalikan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Pindahkan ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 14.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 15

Sederhanakan ${(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + (1 + 3 e^{x}) \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 16

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + 3 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot (1 + 3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot 1 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 6 e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$