Kalkulus Contoh

$f (x) = a x - 3 x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a x - 3 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $a$ dengan $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 1.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Langkah 1.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a - 3 - 3 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3) + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Langkah 2.1.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \ln (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 - 3 \frac{1}{x}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + 0 + \frac{- 3}{x}$

Langkah 2.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = 0 + 0 - \frac{3}{x}$

Langkah 2.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{3}{x}$

Langkah 2.3.2

Kurangi $\frac{3}{x}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a x - 3 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [a x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a x$ terhadap $x$ adalah $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $a$ dengan $1$ .

$a + \frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$a - 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 4.1.3.2

$a - 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$a - 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$a - 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$a - 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 4.1.3.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$a - 3 (1 + \ln (x))$

Langkah 4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$a - 3 \cdot 1 - 3 \ln (x)$

Langkah 4.1.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = a - 3 - 3 \ln (x)$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $a - 3 - 3 \ln (x)$ .

$a - 3 - 3 \ln (x)$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $a - 3 - 3 \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$a - 3 - 3 \ln (x) = 0$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\ln (x)$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangkan $a$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 - 3 \ln (x) = - a$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$- 3 \ln (x) = - a + 3$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- 3 \ln (x) = - a + 3$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \ln (x) = - a + 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- a}{- 3} + \frac{3}{- 3}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (x) = \frac{a}{3} + \frac{3}{- 3}$

Langkah 5.3.3.1.2

Bagilah $3$ dengan $- 3$ .

$\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$

Langkah 5.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Langkah 5.5

Tulis kembali $\ln (x) = \frac{a}{3} - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{a}{3} - 1} = x$

Langkah 5.6

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ .

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 6.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = e^{\frac{a}{3} - 1}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = e^{\frac{a}{3} - 1}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1}}$

Langkah 9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Langkah 9.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 9.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 1 \cdot 3}{3}}}$

Langkah 9.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{3}{e^{\frac{a - 3}{3}}}$

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11