Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (x^{6})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{6})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{6 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$\frac{1}{1 + x^{12}} (6 x^{5})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{1 + x^{12}}$ .

$\frac{6}{1 + x^{12}} x^{5}$

Langkah 1.2.3.2

Gabungkan $\frac{6}{1 + x^{12}}$ dan $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{1 + x^{12}}$

Langkah 1.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{x^{12} + 1}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{12} + 1})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{12} + 1) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{12} + 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot ((x^{12} + 1) x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} (x^{12} + 1)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{12} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} (x^{12}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 12$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11} + 0)}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $12 x^{11}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - x^{5} (12 x^{11})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $12$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{5} x^{11}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4

Kalikan $x^{5}$ dengan $x^{11}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $x^{11}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 (x^{11} x^{5})}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{11 + 5}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $11$ dan $5$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $6$ dan $\frac{5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{12} + 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{6 ((5 x^{12} + 5 \cdot 1) x^{4} - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4} + 5 \cdot (1 x^{4}) - 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{12} x^{4}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1.1

Kalikan $x^{12}$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1.1.1

Pindahkan $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 (x^{4} x^{12})) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{4 + 12}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.1.3

Tambahkan $4$ dan $12$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 x^{16}) + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.2

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 \cdot (1 x^{4})) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 6 (5 x^{4}) + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.4

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} + 6 (- 12 x^{16})}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.5

Kalikan $- 12$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{30 x^{16} + 30 x^{4} - 72 x^{16}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.2

Kurangi $72 x^{16}$ dengan $30 x^{16}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42 x^{16} + 30 x^{4}}{{(x^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 x^{5} = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $6 x^{5} = 0$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{5} = 0$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.1.2.1.2

Bagilah $x^{5}$ dengan $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$x^{5} = 0$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[5]{0}$

Langkah 5.3

Sederhanakan $\sqrt[5]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Langkah 5.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{- 42 {(0)}^{16} + 30 {(0)}^{4}}{{({(0)}^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{- 42 \cdot 0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 42$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0^{4}}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0 + 30 \cdot 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.4

Kalikan $30$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{{(0^{12} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{1^{2}}$

Langkah 7.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{0}{1}$

Langkah 7.3

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 8

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 8.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{6 {(- 2)}^{5}}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{{(- 2)}^{12} + 1}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $12$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4096 + 1}$

Langkah 8.2.2.2.2

Tambahkan $4096$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{6 \cdot - 32}{4097}$

Langkah 8.2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Kalikan $6$ dengan $- 32$ .

$f' (- 2) = \frac{- 192}{4097}$

Langkah 8.2.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{192}{4097}$

Langkah 8.2.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{192}{4097}$ .

$- \frac{192}{4097}$

Langkah 8.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{6 x^{5}}{x^{12} + 1}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{6 {(2)}^{5}}{{(2)}^{12} + 1}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{2^{12} + 1}$

Langkah 8.3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $12$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4096 + 1}$

Langkah 8.3.2.2.2

Tambahkan $4096$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 32}{4097}$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $6$ dengan $32$ .

$f' (2) = \frac{192}{4097}$

Langkah 8.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{192}{4097}$ .

$\frac{192}{4097}$

Langkah 8.4

Karena turunan pertamanya diubah tandanya dari negatif menjadi positif di sekitar $x = 0$ , maka $x = 0$ adalah minimum lokal.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 9