Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (x^{5})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$\frac{1}{1 + x^{10}} (5 x^{4})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{1 + x^{10}}$ .

$\frac{5}{1 + x^{10}} x^{4}$

Langkah 1.2.3.2

Gabungkan $\frac{5}{1 + x^{10}}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{1 + x^{10}}$

Langkah 1.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{x^{10} + 1}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{x^{10} + 1})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{(x^{10} + 1) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{10} + 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 \cdot ((x^{10} + 1) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{10} + 1)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{10} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 10$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9} + 0)}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $10 x^{9}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - x^{4} (10 x^{9})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{4} x^{9}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{9}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $x^{9}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 (x^{9} x^{4})}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{9 + 4}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $9$ dan $4$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.5

Gabungkan $5$ dan $\frac{4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{10} + 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{5 ((4 x^{10} + 4 \cdot 1) x^{3} - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3} + 4 \cdot (1 x^{3}) - 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{10} x^{3}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1.1

Kalikan $x^{10}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.4.1.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 (x^{3} x^{10})) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{3 + 10}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.1.3

Tambahkan $3$ dan $10$ .

$f'' (x) = \frac{5 (4 x^{13}) + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.2

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 \cdot (1 x^{3})) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 5 (4 x^{3}) + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.4

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} + 5 (- 10 x^{13})}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.1.5

Kalikan $- 10$ dengan $5$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{13} + 20 x^{3} - 50 x^{13}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.4.2

Kurangi $50 x^{13}$ dengan $20 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{- 30 x^{13} + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.5

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $- 30 x^{13} + 20 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $- 30 x^{13}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 20 x^{3}}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.5.2

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $20 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.5.3

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $10 x^{3} (- 3 x^{10}) + 10 x^{3} (2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 3 x^{10} + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{10}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) + 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.7

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{10}) - 1 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.9

Tulis kembali $- (3 x^{10} - 2)$ sebagai $- 1 (3 x^{10} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{3} (- 1 (3 x^{10} - 2))}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(10 x^{3}) (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{3} (3 x^{10} - 2)}{{(x^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 x^{4} = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi setiap suku pada $5 x^{4} = 0$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Bagilah setiap suku di $5 x^{4} = 0$ dengan $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.2.1.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} = \frac{0}{5}$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$x^{4} = 0$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Langkah 5.3

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Langkah 5.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 5.3.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{10 {(0)}^{3} (3 {(0)}^{10} - 2)}{{({(0)}^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (3 \cdot 0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} (0 - 2)}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- \frac{10 \cdot 0^{3} \cdot - 2}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $10$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0^{3}}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.5

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0^{10} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1^{2}}$

Langkah 7.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{- 20 \cdot 0}{1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 20$ dengan $0$ .

$- \frac{0}{1}$

Langkah 7.3.2

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 0$

Langkah 7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 8

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 8.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{4}}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{{(- 2)}^{10} + 1}$

Langkah 8.2.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $10$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Langkah 8.2.2.2.2

Tambahkan $1024$ dan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Langkah 8.2.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.1

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$f' (- 2) = \frac{80}{1025}$

Langkah 8.2.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $80$ dan $1025$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $80$ .

$f' (- 2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Langkah 8.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $1025$ .

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Langkah 8.2.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Langkah 8.2.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 2) = \frac{16}{205}$

Langkah 8.2.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Langkah 8.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $2$ , dari interval $(0, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{5 x^{4}}{x^{10} + 1}$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{5 {(2)}^{4}}{{(2)}^{10} + 1}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{2^{10} + 1}$

Langkah 8.3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $10$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1024 + 1}$

Langkah 8.3.2.2.2

Tambahkan $1024$ dan $1$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{1025}$

Langkah 8.3.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.1

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$f' (2) = \frac{80}{1025}$

Langkah 8.3.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $80$ dan $1025$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $80$ .

$f' (2) = \frac{5 (16)}{1025}$

Langkah 8.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $1025$ .

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Langkah 8.3.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (2) = \frac{5 \cdot 16}{5 \cdot 205}$

Langkah 8.3.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (2) = \frac{16}{205}$

Langkah 8.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{16}{205}$ .

$\frac{16}{205}$

Langkah 8.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 8.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = \arctan (x^{5})$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 9