Kalkulus Contoh

$f (x) = \csc (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Langkah 1.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cot (x) \csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cot (x)$ dan $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.3

Turunan dari $\csc (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.4

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.5

Naikkan $\cot (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Langkah 2.8

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Langkah 2.9

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Langkah 2.10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Langkah 2.11

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Langkah 2.12.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\csc (x) \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x)$

Langkah 2.12.2.2

Kalikan $\csc (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Langkah 2.12.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + 1 \csc^{3} (x)$

Langkah 2.12.2.4

Kalikan $\csc^{3} (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$

Langkah 2.12.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \cot^{2} (x) \csc (x) + \csc^{3} (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \cot (x) \csc (x) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Langkah 5

Atur $\cot (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $\cot (x)$ sama dengan $0$ .

$\cot (x) = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $\cot (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Ambil kotangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kotangen.

$x = arccot (0)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Nilai eksak dari $arccot (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.3

Fungsi kotangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan $π + \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Langkah 5.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Langkah 5.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Langkah 5.2.4.3.2

Tambahkan $2 π$ dan $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 5.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 6

Atur $\csc (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\csc (x)$ sama dengan $0$ .

$\csc (x) = 0$

Langkah 6.2

Jangkauan dari kosekan adalah $y \leq - 1$ dan $y \geq 1$ . Karena $0$ tidak berada pada jangkauan ini, maka tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- \cot (x) \csc (x) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 \cdot 1 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 9.1.5

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + 1^{3}$

Langkah 9.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$0 + 1$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 10

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kotangen negatif di kuadran keempat.

${(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

${(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.5

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.6

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.7

Kalikan $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 \cdot - 1 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.7.2

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Langkah 13.1.8

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$0 + {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Langkah 13.1.9

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Langkah 13.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 + {(- 1)}^{3}$

Langkah 13.1.11

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$0 - 1$

Langkah 13.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1$

Langkah 14

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \csc (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2.2

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Langkah 15.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Langkah 15.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \csc (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ adalah minimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ adalah maksimum lokal

Langkah 17