Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = 0$

Langkah 13

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \tan (x) = - 2$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $- \tan (x) = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $- \tan (x) = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 14.2.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$\tan (x) = 2$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (2)$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Langkah 17

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Langkah 18

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Langkah 18.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Langkah 18.3

Tambahkan $3.14159265$ dan $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Langkah 19

Penyelesaian untuk persamaan $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

Langkah 20

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1.10714871$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

Langkah 21

$x = 1.10714871$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1.10714871$ adalah maksimum lokal

Langkah 22

Tentukan nilai y ketika $x = 1.10714871$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.10714871$ pada pernyataan tersebut.

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Langkah 22.2

Jawaban akhirnya adalah $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ .

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Langkah 23

Evaluasi turunan kedua pada $x = 4.24874137$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

Langkah 24

$x = 4.24874137$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 4.24874137$ adalah minimum lokal

Langkah 25

Tentukan nilai y ketika $x = 4.24874137$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.24874137$ pada pernyataan tersebut.

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Langkah 25.2

Jawaban akhirnya adalah $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ .

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Langkah 26

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ adalah maksimum lokal

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ adalah minimum lokal

Langkah 27