Kalkulus Contoh

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x + \sin (9 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Langkah 1.3.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Langkah 1.3.4

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Langkah 1.3.5

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 + 9 \cos (9 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Langkah 2.1.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 \cos (9 x)$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Langkah 2.2.6

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 9$ dengan $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Langkah 2.3

Kurangi $81 \sin (9 x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $9 \cos (9 x) = - 9$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $9 \cos (9 x) = - 9$ dengan $9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\cos (9 x)$ dengan $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Langkah 6

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$9 x = \arccos (- 1)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$9 x = π$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $9 x = π$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $9 x = π$ dengan $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Langkah 9

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$9 x = 2 π - π$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$9 x = π$

Langkah 10.2

Bagi setiap suku pada $9 x = π$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x = π$ dengan $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Langkah 10.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{9}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 81 \sin (π)$

Langkah 13.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- 81 \sin (0)$

Langkah 13.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Langkah 13.4

Kalikan $- 81$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 14

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Langkah 14.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, \frac{π}{9})$ dalam turunan pertama $9 + 9 \cos (9 x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Langkah 14.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Langkah 14.2.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Langkah 14.2.2.1.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Langkah 14.2.2.2

Tambahkan $9$ dan $9$ .

$f' (0) = 18$

Langkah 14.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18$ .

$18$

Langkah 14.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(\frac{π}{9}, \infty)$ dalam turunan pertama $9 + 9 \cos (9 x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Langkah 14.3.2.1.2

Evaluasi $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Langkah 14.3.2.1.3

Kalikan $9$ dengan $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Langkah 14.3.2.2

Kurangi $2.62924927$ dengan $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Langkah 14.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6.37075072$ .

$6.37075072$

Langkah 14.4

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = \frac{π}{9}$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 14.5

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 15