Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x + 8 \cos (8 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 \cos (8 x)$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Langkah 1.3.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Langkah 1.3.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Langkah 1.3.6

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 8$ dengan $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 - 64 \sin (8 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Langkah 2.1.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 64$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 64 \sin (8 x)$ terhadap $x$ adalah $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $8$ dengan $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Langkah 2.3

Kurangi $512 \cos (8 x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 64 \sin (8 x) = - 8$ dengan $- 64$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 64 \sin (8 x) = - 8$ dengan $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (8 x)$ dengan $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $- 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Faktorkan $- 8$ dari $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Langkah 5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Faktorkan $- 8$ dari $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Langkah 5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Langkah 5.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $8 x = 0.12532783$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $8 x = 0.12532783$ dengan $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $0.12532783$ dengan $8$ .

$x = 0.01566597$

Langkah 9

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Langkah 10

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kurangi $0.12532783$ dengan $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Langkah 10.2

Bagi setiap suku pada $8 x = 3.01626482$ dengan $8$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Bagilah setiap suku di $8 x = 3.01626482$ dengan $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Langkah 10.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Bagilah $3.01626482$ dengan $8$ .

$x = 0.3770331$

Langkah 11

Penyelesaian untuk persamaan $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0.01566597$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Langkah 13

Kalikan $8$ dengan $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Langkah 14

$x = 0.01566597$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0.01566597$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = 0.01566597$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.01566597$ pada pernyataan tersebut.

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kalikan $8$ dengan $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Langkah 15.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $0.12532783$ dan $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0.3770331$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Langkah 17

Kalikan $8$ dengan $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Langkah 18

$x = 0.3770331$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0.3770331$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = 0.3770331$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.3770331$ pada pernyataan tersebut.

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Kalikan $8$ dengan $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Langkah 19.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Langkah 19.2.2

Tambahkan $3.01626482$ dan $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Langkah 19.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ adalah maksimum lokal

$(0.3770331, - 4.92098911)$ adalah minimum lokal

Langkah 21