Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (x) - x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\cos (x) - 1$

Langkah 1.4

Susun kembali suku-suku.

$- 1 + \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 1 + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Langkah 2.3

Kurangi $\sin (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Langkah 4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\cos (x) = 1$

Langkah 5

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (1)$

Langkah 6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 7

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 8

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 9

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (0)$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- 0$

Langkah 11.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 12

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Langkah 12.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $- 2$ , dari interval $(- \infty, 0)$ dalam turunan pertama $- 1 + \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Evaluasi $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Langkah 12.2.2.2

Kurangi $0.41614683$ dengan $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Langkah 12.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Langkah 12.3

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $3$ , dari interval $(0, 2 π)$ dalam turunan pertama $- 1 + \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Langkah 12.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Evaluasi $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Langkah 12.3.2.2

Kurangi $0.98999249$ dengan $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Langkah 12.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Langkah 12.4

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $9$ , dari interval $(2 π, \infty)$ dalam turunan pertama $- 1 + \cos (x)$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Langkah 12.4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Evaluasi $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Langkah 12.4.2.2

Kurangi $0.91113026$ dengan $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Langkah 12.4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Langkah 12.5

Karena turunan pertamanya tidak mengubah tanda-tanda di sekitar $x = 0$ , ini bukan merupakan maksimum atau minimum lokal.

Bukan maksimum atau minimum lokal

Langkah 12.6

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $f (x) = \sin (x) - x$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 13