Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (2 x - x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\cos (x) = 0$

Langkah 4

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 7.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 10.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 11

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2}))$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2}))$

Langkah 12.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (π - (\frac{π}{2}))$

$f (\frac{π}{2}) = \sin (π - \frac{π}{2})$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 12.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Langkah 12.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Langkah 12.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Langkah 12.2.4.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 12.2.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Langkah 12.2.6

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 14.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Langkah 14.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- - 1$

Langkah 14.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1$

Langkah 15

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2}))$

Langkah 16.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (3 π - (\frac{3 π}{2}))$

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (3 π - \frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.2

Untuk menuliskan $3 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (3 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.3.1

Gabungkan $3 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π \cdot 2}{2} - \frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π \cdot 2 - 3 π}{2})$

Langkah 16.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.4.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{6 π - 3 π}{2})$

Langkah 16.2.4.2

Kurangi $3 π$ dengan $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Langkah 16.2.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 16.2.6

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Langkah 16.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Langkah 16.2.8

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin (2 x - x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 18