Kalkulus Contoh

$f (x) = \sin (2 x) + \cos (2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (2 x) + \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \cos (2 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Langkah 1.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\cos (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x) - 4 \cos (2 x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 5.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 6

Pisahkan pecahan.

$2 + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ ke $\tan (2 x)$ .

$2 + \frac{- 2}{1} \cdot \tan (2 x) = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 8

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = 0 \sec (2 x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (2 x)$ .

$2 - 2 \tan (2 x) = 0$

Langkah 13

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \tan (2 x) = - 2$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $- 2 \tan (2 x) = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \tan (2 x) = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \tan (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 14.2.1.2

Bagilah $\tan (2 x)$ dengan $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$\tan (2 x) = 1$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$2 x = \arctan (1)$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Langkah 17

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Langkah 17.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 17.3.2

Kalikan $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Langkah 17.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Langkah 18

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 19

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 19.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 19.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 19.1.4

Tambahkan $π \cdot 4$ dan $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.4.1

Susun kembali $π$ dan $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 19.1.4.2

Tambahkan $4 \cdot π$ dan $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Langkah 19.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Langkah 19.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Langkah 19.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Langkah 19.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 19.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Langkah 19.2.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Langkah 20

Penyelesaian untuk persamaan $2 x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{5 π}{8}$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{8})) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 (4)}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 4}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sin (\frac{π}{4}) - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 22.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{π}{2 (4)})$

Langkah 22.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

Langkah 22.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Langkah 22.2

Kurangi $2 \sqrt{2}$ dengan $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Langkah 23

$x = \frac{π}{8}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{8}$ adalah maksimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{8})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (4)})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 24.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 4})) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 24.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{8}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 24.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{8}))$

Langkah 24.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{2 (4)}))$

Langkah 24.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 4}))$

Langkah 24.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 24.2.2.3.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = \sqrt{2}$

Langkah 24.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Langkah 25

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{8}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 4 \sin (2 (\frac{5 π}{8})) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$- 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (4)}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 4}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 \sin (\frac{5 π}{4}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{4})) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 (- \sqrt{2}) - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 26.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (4)})$

Langkah 26.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 4})$

Langkah 26.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \sqrt{2} - 4 \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.7

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Langkah 26.1.8

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 26.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.9.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

Langkah 26.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Langkah 26.2

Tambahkan $2 \sqrt{2}$ dan $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Langkah 27

$x = \frac{5 π}{8}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{8}$ adalah minimum lokal

Langkah 28

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{8}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{8})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{2 (4)})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 4})) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{8}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{8}))$

Langkah 28.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (4)}))$

Langkah 28.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 4}))$

Langkah 28.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Langkah 28.2.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 28.2.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Langkah 28.2.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 28.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Langkah 28.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 28.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 28.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Langkah 28.2.2.3.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{5 π}{8}) = - \sqrt{2}$

Langkah 28.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Langkah 29

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \sin (2 x) + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{8}, \sqrt{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5 π}{8}, - \sqrt{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 30