Kalkulus Contoh

$f (x) = \tan (x) - x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Langkah 1.4.2

Susun kembali $- 1$ dan $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Langkah 1.4.3

Terapkan identitas pythagoras.

$\tan^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Langkah 2.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dari $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\tan^{2} (x) = 0$

Langkah 4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Langkah 5

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\tan (x) = \pm 0$

Langkah 5.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$\tan (x) = 0$

Langkah 6

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (0)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 8

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + 0$

Langkah 9

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$x = π$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0$ .

$x = 0, π$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Langkah 12

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Langkah 12.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 \tan (0)$

Langkah 12.4

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$2 \cdot 0$

Langkah 12.5

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 13

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 14