Kalkulus Contoh

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$1 + 3 (- \sin (x))$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$1 - 3 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 3 \cos (x)$

Langkah 2.3

Kurangi $3 \cos (x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - 3 \sin (x) = 0$

Langkah 4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 \sin (x) = - 1$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 3 \sin (x) = - 1$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \sin (x) = - 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$x = 0.3398369$

Langkah 8

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

Langkah 9.3

Kurangi $0.3398369$ dengan $3.14159265$ .

$x = 2.80175574$

Langkah 10

Penyelesaian untuk persamaan $x = 0.3398369$ .

$x = 0.3398369, 2.80175574$

Langkah 11

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0.3398369$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 3 \cos (0.3398369)$

Langkah 12

$x = 0.3398369$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0.3398369$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = 0.3398369$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.3398369$ pada pernyataan tersebut.

$f (0.3398369) = (0.3398369) + 3 \cos (0.3398369)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Tambahkan $0.3398369$ dan $3 \cos (0.3398369)$ .

$f (0.3398369) = 3.16826403$

Langkah 13.2.2

Jawaban akhirnya adalah $3.16826403$ .

$y = 3.16826403$

Langkah 14

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2.80175574$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 3 \cos (2.80175574)$

Langkah 15

$x = 2.80175574$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2.80175574$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = 2.80175574$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.80175574$ pada pernyataan tersebut.

$f (2.80175574) = (2.80175574) + 3 \cos (2.80175574)$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Tambahkan $2.80175574$ dan $3 \cos (2.80175574)$ .

$f (2.80175574) = - 0.02667138$

Langkah 16.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 0.02667138$ .

$y = - 0.02667138$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + 3 \cos (x)$ .

$(0.3398369, 3.16826403)$ adalah maksimum lokal

$(2.80175574, - 0.02667138)$ adalah minimum lokal

Langkah 18