Kalkulus Contoh

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5 \ln (3 x - 9)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \ln (3 x - 9)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 1.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 1.2.6

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Langkah 1.2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Langkah 1.2.8

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{3 x - 9}$ dan $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Langkah 1.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Langkah 1.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Langkah 1.2.10.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Langkah 1.2.10.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Langkah 1.2.10.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Langkah 1.2.10.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Langkah 1.2.11

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Langkah 1.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Langkah 1.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Langkah 1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Langkah 1.3.3

Kurangi $5$ dengan $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 8$ dan $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $x - 3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x - 3 - x - - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2.3

Tambahkan $- 3$ dan $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5 \ln (3 x - 9)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 \ln (3 x - 9)$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 4.1.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 4.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Langkah 4.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 4.1.2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 4.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Langkah 4.1.2.6

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Langkah 4.1.2.8

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Langkah 4.1.2.9

Gabungkan $\frac{1}{3 x - 9}$ dan $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Langkah 4.1.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $3 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.10.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Langkah 4.1.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.10.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Langkah 4.1.2.10.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Langkah 4.1.2.10.2.3

Faktorkan $3$ dari $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Langkah 4.1.2.10.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Langkah 4.1.2.10.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Langkah 4.1.2.11

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Langkah 4.1.2.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Langkah 4.1.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Langkah 4.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Langkah 4.1.3.3

Kurangi $5$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x - 8 = 0$

Langkah 5.3

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{x - 8}{x - 3}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 3 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 8$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 8$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangi $3$ dengan $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Langkah 9.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{5}{25}$

Langkah 9.2

Hapus faktor persekutuan dari $5$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5}$

Langkah 10

$x = 8$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 8$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Langkah 11.2.1.2

Kurangi $9$ dengan $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Langkah 11.2.1.3

Sederhanakan $- 5 \ln (15)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Langkah 11.2.1.4

Naikkan $15$ menjadi pangkat $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ adalah minimum lokal

Langkah 13