Kalkulus Contoh

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (x) + \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Langkah 1.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kurangi $\sin (x)$ dengan $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $x \cos (x)$ dan $0$ .

$x \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Langkah 2.3.2.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x \cos (x) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Langkah 5

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Atur $\cos (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $\cos (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $\cos (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x = \arccos (0)$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 6.2.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 6.2.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 6.2.5

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x \cos (x) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Langkah 9.1.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$0 + \cos (0)$

Langkah 9.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$0 + 1$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Langkah 11.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 13.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 13.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Langkah 13.2

Tambahkan $- \frac{π}{2}$ dan $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Langkah 14

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2.1.2

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 15.2.1.3

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Langkah 15.2.2

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Langkah 15.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Langkah 16

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{3 π}{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.1.4

Kalikan $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.1.4.2

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 17.1.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 17.1.6

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Langkah 17.2

Tambahkan $\frac{3 π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Langkah 18

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{3 π}{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 19

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{3 π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3 π}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.4

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1.4.1

Gabungkan $\frac{3 π}{2}$ dan $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Langkah 19.2.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 19.2.1.7

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Langkah 19.2.2

Tambahkan $- \frac{3 π}{2}$ dan $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Langkah 19.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Langkah 20

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ adalah minimum lokal

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 21