Kalkulus Contoh

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2 \arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.3.1.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 1$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Kurangi $2 x^{2} x$ dengan $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.1.2

Tambahkan $2 \cdot 1 x$ dan $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3.5.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 5

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 5.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 5.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 5.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Langkah 7.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4}{4}$

Langkah 7.3

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$1$

Langkah 8

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Langkah 9.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Langkah 9.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 9.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 9.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.1.3

Tulis kembali $- 1 \frac{π}{2}$ sebagai $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Langkah 9.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Langkah 10

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 11

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Langkah 11.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Langkah 11.3

Bagilah $- 4$ dengan $4$ .

$- 1$

Langkah 12

$x = - 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1$ adalah maksimum lokal

Langkah 13

Tentukan nilai y ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Langkah 13.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Langkah 13.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Langkah 13.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Langkah 13.2.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Langkah 13.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Langkah 13.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Langkah 13.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Langkah 13.2.1.4

Kalikan $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Langkah 13.2.1.4.2

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Langkah 13.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Langkah 14

Ini adalah ekstrem lokal untuk $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ adalah minimum lokal

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ adalah maksimum lokal

Langkah 15