Kalkulus Contoh

$g (x) = 4 \sqrt[4]{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Langkah 1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Langkah 1.7.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Langkah 1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Langkah 1.9

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 1.10

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 1.11

Pindahkan $x^{- \frac{3}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 1.12

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 1.13

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ sebagai ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1})$

Langkah 2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4} \cdot - 1})$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan $\frac{3}{4} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3 \cdot - 1}{4}})$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 3}{4}})$

Langkah 2.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{3}{4}})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1}$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 3 - 4}{4}}$

Langkah 2.6.2

Kurangi $4$ dengan $- 3$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{\frac{- 7}{4}}$

Langkah 2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$g'' (x) = - \frac{3}{4} x^{- \frac{7}{4}}$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$

Langkah 2.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{x^{\frac{7}{4}} \cdot 4}$

Langkah 2.8.2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{\frac{7}{4}}$ .

$g'' (x) = - \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{\frac{1}{4}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Langkah 4.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Langkah 4.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Langkah 4.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Langkah 4.1.7.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Langkah 4.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Langkah 4.1.9

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 4.1.10

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Langkah 4.1.11

Pindahkan $x^{- \frac{3}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 4.1.12

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 4.1.13

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 5.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghapus akar di sisi kiri persamaan, pangkatkan kedua sisi persamaan ke pangkat $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{x^{3}}$ sebagai $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} = 0^{4}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.3.3.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 6.3.3.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 6.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt[4]{x^{3}}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} < 0$

Langkah 6.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.5.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 6.5.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x < 0$

Langkah 6.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{7}{4}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$- \frac{3}{4 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}}$

Langkah 9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{4 \cdot 0^{7}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{3}{4 \cdot 0}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- \frac{3}{0}$

Langkah 9.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$- \frac{3}{0}$

Langkah 9.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11