Kalkulus Contoh

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.2

Karena $20 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $20 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $70$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $70 y$ terhadap $y$ adalah $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $70$ dengan $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.4

Karena $\frac{x^{2}}{1000}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{1000}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $\frac{x}{100}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x y^{2}}{100}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Langkah 1.5.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Langkah 1.5.4

Gabungkan $\frac{2 x}{100}$ dan $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Langkah 1.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Langkah 1.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Langkah 1.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Langkah 1.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Tambahkan $0$ dan $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Langkah 1.6.1.2

Tambahkan $70$ dan $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x y}{50} + 70$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x y}{50} + 70$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{x}{50}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x y}{50}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $\frac{x}{50}$ dengan $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $70$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $70$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $\frac{x}{50}$ dan $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.2

Karena $20 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $20 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $70$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $70 y$ terhadap $y$ adalah $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $70$ dengan $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.4

Karena $\frac{x^{2}}{1000}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{1000}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Langkah 4.1.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Karena $\frac{x}{100}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x y^{2}}{100}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 4.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Langkah 4.1.5.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Langkah 4.1.5.4

Gabungkan $\frac{2 x}{100}$ dan $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Langkah 4.1.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $100$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Langkah 4.1.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Langkah 4.1.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Langkah 4.1.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1.1

Tambahkan $0$ dan $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Langkah 4.1.6.1.2

Tambahkan $70$ dan $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Langkah 4.1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $u (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $70$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Langkah 5.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Langkah 5.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $50$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Langkah 5.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y = 50 \cdot - 70$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Kalikan $50$ dengan $- 70$ .

$x y = - 3500$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $x y = - 3500$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $x y = - 3500$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3500}{x}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$y = - \frac{3500}{x}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $y = - \frac{3500}{x}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{x}{50}$

Langkah 9

Karena setidaknya ada satu titik di $0$ atau turunan kedua yang tidak terdefinisikan, lakukan uji turunan pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagi $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $y$ yang membuat turunan pertamanya $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 9.2

Substitusikan bilangan apa pun, seperti $0$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ dalam turunan pertama $\frac{x y}{50} + 70$ untuk memeriksa apakah hasilnya negatif atau positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $50$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1.1

Faktorkan $50$ dari $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Langkah 9.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1.2.1

Faktorkan $50$ dari $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Langkah 9.2.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Langkah 9.2.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Langkah 9.2.2.1.1.2.4

Bagilah $x \cdot (0)$ dengan $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Langkah 9.2.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Langkah 9.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $70$ .

$u' (0) = 70$

Langkah 9.2.2.3

Jawaban akhirnya adalah $70$ .

$70$

Langkah 9.3

Tidak ada maksimum atau minimum lokal yang ditemukan untuk $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ .

Tidak ada maksimum atau minimum lokal

Langkah 10