Kalkulus Contoh

$p (x) = x^{2} (a - x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = a - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.6.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Langkah 1.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Langkah 1.3.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Langkah 1.3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Langkah 1.3.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Langkah 1.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Langkah 1.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Langkah 1.3.3.6

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + 2 a x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$p'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$p'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2 a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 a x$ terhadap $x$ adalah $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$p'' (x) = 2 a - 6 x$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.6.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Langkah 4.1.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Langkah 4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Langkah 4.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Langkah 4.1.3.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Langkah 4.1.3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Langkah 4.1.3.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Langkah 4.1.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Langkah 4.1.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Langkah 4.1.3.3.6

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $- x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 a x$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $p (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 2 a x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$x (- 3 x) + 2 a x = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $x$ dari $2 a x$ .

$x (- 3 x) + x (2 a) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 3 x) + x (2 a)$ .

$x (- 3 x + 2 a) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$- 3 x + 2 a = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $- 3 x + 2 a$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $- 3 x + 2 a$ sama dengan $0$ .

$- 3 x + 2 a = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $- 3 x + 2 a = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $2 a$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x = - 2 a$

Langkah 5.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x = - 2 a$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x = - 2 a$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Langkah 5.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{2 a}{3}$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (- 3 x + 2 a) = 0$ benar.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$2 a - 6 \cdot 0$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $- 6$ dengan $0$ .

$2 a + 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $2 a$ dan $0$ .

$2 a$

Langkah 10

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 11