Kalkulus Contoh

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Langkah 2.3.4

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Langkah 4

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 5

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9

Pisahkan pecahan.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 11

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Langkah 12

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Langkah 13

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 \tan (x) = 1$

Langkah 14

Bagi setiap suku pada $- 2 \tan (x) = 1$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \tan (x) = 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Langkah 14.2.1.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 14.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 15

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Langkah 16

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Langkah 17

Fungsi tangen negatif pada kuadran kedua dan keempat. Untuk mencari penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Langkah 18

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Tambahkan $2 π$ ke $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Langkah 18.2

Sudut yang dihasilkan dari $2.67794504$ positif dan koterminal dengan $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = 2.67794504$

Langkah 19

Penyelesaian untuk persamaan $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Langkah 20

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 0.4636476$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Langkah 21

$x = - 0.4636476$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 0.4636476$ adalah maksimum lokal

Langkah 22

Tentukan nilai y ketika $x = - 0.4636476$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.4636476$ pada pernyataan tersebut.

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Langkah 22.2

Jawaban akhirnya adalah $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Langkah 23

Evaluasi turunan kedua pada $x = 2.67794504$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Langkah 24

$x = 2.67794504$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 2.67794504$ adalah minimum lokal

Langkah 25

Tentukan nilai y ketika $x = 2.67794504$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.67794504$ pada pernyataan tersebut.

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Langkah 25.2

Jawaban akhirnya adalah $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Langkah 26

Ini adalah ekstrem lokal untuk $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ adalah maksimum lokal

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ adalah minimum lokal

Langkah 27