Kalkulus Contoh

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Langkah 1

Tulis $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Langkah 2.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 2.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 2.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Langkah 2.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.7

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 2.6.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 2.6.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Langkah 2.6.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Langkah 2.6.11.2

Kalikan $x^{2} - 2 x + 1$ dengan $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.2

Terapkan sifat distributif.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.3

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.4

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.5

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.6.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.8

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.12

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.13

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.14

Kurangi $x^{2}$ dengan $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.15

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7.6.16

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Langkah 2.7.6.17

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $- 6 x + 2$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Langkah 5.1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Langkah 5.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Langkah 5.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 5.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 5.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 5.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Langkah 5.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Langkah 5.1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Langkah 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.7

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 5.1.6.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 5.1.6.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 5.1.6.10

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Langkah 5.1.6.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Langkah 5.1.6.11.2

Kalikan $x^{2} - 2 x + 1$ dengan $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Langkah 5.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.2

Terapkan sifat distributif.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.3

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.4

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.5

Terapkan sifat distributif.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.7.6.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.8

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.9

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.12

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.13

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.14

Kurangi $x^{2}$ dengan $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.15

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.7.6.16

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Langkah 5.1.7.6.17

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Langkah 6.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Langkah 6.2.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Langkah 6.2.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Langkah 6.2.1.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 2$ sebagai $1$ ditambah $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2.1.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Langkah 6.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 6.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 6.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 6.4

Atur $3 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Atur $3 x + 1$ sama dengan $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Langkah 6.4.2

Selesaikan $3 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - 1$

Langkah 6.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = - 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Langkah 6.4.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{3}$

Langkah 6.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{1}{3}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Langkah 10.1.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Langkah 10.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Langkah 10.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Langkah 10.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 + 2$

Langkah 10.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$4$

Langkah 11

$x = - \frac{1}{3}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{1}{3}$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Langkah 12.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Langkah 12.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Langkah 12.2.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.7.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Langkah 12.2.9

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Langkah 12.2.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Langkah 12.2.10

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.10.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Langkah 12.2.10.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.10.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Langkah 12.2.10.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Langkah 12.2.10.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Langkah 12.2.11

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Langkah 12.2.12

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Langkah 12.2.13

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Langkah 12.2.14

Kalikan $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.14.1

Kalikan $\frac{16}{9}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Langkah 12.2.14.2

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Langkah 12.2.14.3

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Langkah 12.2.15

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$- 6 + 2$

Langkah 14.2

Tambahkan $- 6$ dan $2$ .

$- 4$

Langkah 15

$x = 1$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Langkah 16.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Langkah 16.2.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Langkah 16.2.4

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Langkah 16.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 16.2.6

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ adalah minimum lokal

$(1, 0)$ adalah maksimum lokal

Langkah 18