Kalkulus Contoh

$h (y) = \arctan (y^{2})$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \arctan (y)$ dan $g (y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

Langkah 1.2.3.2

Gabungkan $\frac{2}{1 + y^{4}}$ dan $y$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

Langkah 1.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ .

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = y^{4} + 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.2

Kalikan $y^{4} + 1$ dengan $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{4} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $4 y^{3}$ dan $0$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4

Kalikan $y$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $y^{3}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.5

Kurangi $4 y^{4}$ dengan $y^{4}$ .

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3

Faktorkan $2$ dari $- 6 y^{4} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y^{4}$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.7

Tulis kembali $- (3 y^{4} - 1)$ sebagai $- 1 (3 y^{4} - 1)$ .

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

Langkah 4

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 y = 0$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $2 y = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $2 y = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{0}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = 0$

Langkah 6

Evaluasi turunan kedua pada $y = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Langkah 7.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{- 2}{1}$

Langkah 7.3.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- - 2$

Langkah 7.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2$

Langkah 8

$y = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$y = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 9

Tentukan nilai y ketika $y = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $y$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$h (0) = \arctan (0)$

Langkah 9.2.2

Nilai eksak dari $\arctan (0)$ adalah $0$ .

$h (0) = 0$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 10

Ini adalah ekstrem lokal untuk $h (y) = \arctan (y^{2})$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

Langkah 11