Kalkulus Contoh

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 1

Tulis $y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 9$ dan $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 2.3.7

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Langkah 2.3.8.2

Kalikan $e^{- \frac{x}{4}}$ dengan $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4.2.3

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 2.4.2.5

Untuk menuliskan $e^{- \frac{x}{4}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.4.2.6

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Langkah 2.4.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Langkah 2.4.2.8

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 2.4.2.9

Tambahkan $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ dan $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 2.4.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.4

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.9

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.2.10

Kalikan $e^{- \frac{x}{4}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- \frac{5}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Langkah 3.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Langkah 3.3.3

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

Langkah 3.3.6

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Langkah 3.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 3.3.8

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 3.3.9

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

Langkah 3.3.10

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.5

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $16$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.7.1

Kalikan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.7.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.9

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 3.4.2.10

Tambahkan $- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ dan $5 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.3.2

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Langkah 5.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 5.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Langkah 5.1.3.7

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Langkah 5.1.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Langkah 5.1.3.8.2

Kalikan $e^{- \frac{x}{4}}$ dengan $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4.2.3

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Langkah 5.1.4.2.5

Untuk menuliskan $e^{- \frac{x}{4}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.1.4.2.6

Gabungkan $e^{- \frac{x}{4}}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Langkah 5.1.4.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Langkah 5.1.4.2.8

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 5.1.4.2.9

Tambahkan $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ dan $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 5.1.4.2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Langkah 6.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - 5$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 5$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 5$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Langkah 10.2.2

Kalikan $- - \frac{5}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Langkah 10.2.2.2

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Langkah 10.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

Langkah 10.2.4

Kalikan $- - \frac{5}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

Langkah 10.2.4.2

Kalikan $\frac{5}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Langkah 10.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tambahkan $- 5 e^{\frac{5}{4}}$ dan $e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Langkah 10.3.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

Langkah 10.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

Langkah 10.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

Langkah 10.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Langkah 10.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Langkah 11

$x = - 5$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 5$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tambahkan $- 5$ dan $9$ .

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Langkah 12.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ adalah maksimum lokal

Langkah 14