Kalkulus Contoh

$y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Langkah 1

Tulis $y = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ sebagai fungsi.

$f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $5.4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5.4 \cos (\frac{π x}{6})$ terhadap $x$ adalah $5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$ .

$5.4 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$5.4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{6}$ .

$5.4 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $5.4$ .

$- 5.4 (\sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{π}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5.4 \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gabungkan $\frac{π}{6}$ dan $- 5.4$ .

$\frac{π \cdot - 5.4}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $π$ dengan $- 5.4$ .

$\frac{- 16.96460032}{6} \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan $\frac{- 16.96460032}{6}$ dan $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$\frac{- 16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $16.96460032$ dari $16.96460032 \sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Langkah 2.4.2

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$- \frac{16.96460032 (\sin (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Langkah 2.4.3

Pisahkan pecahan.

$- (\frac{16.96460032}{6} \cdot \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Langkah 2.4.4

Bagilah $16.96460032$ dengan $6$ .

$- (2.82743338 \frac{\sin (\frac{π x}{6})}{1})$

Langkah 2.4.5

Bagilah $\sin (\frac{π x}{6})$ dengan $1$ .

$- (2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}))$

Langkah 2.4.6

Kalikan $2.82743338$ dengan $- 1$ .

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 2.82743338$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})$ terhadap $x$ adalah $- 2.82743338 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{6})$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{π x}{6}$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 (\cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{6}))$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{π}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{π x}{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2.82743338 \cos (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan $\frac{π}{6}$ dan $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2.82743338}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $π$ dengan $- 2.82743338$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396}{6} \cdot \cos (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $\frac{- 8.88264396}{6}$ dan $\cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 3.3.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot \frac{d}{d x} x$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})}{6}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $8.88264396$ dari $8.88264396 \cos (\frac{π x}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$f'' (x) = - \frac{8.88264396 (\cos (\frac{π x}{6}))}{6 (1)}$

Langkah 3.4.3

Pisahkan pecahan.

$f'' (x) = - (\frac{8.88264396}{6} \cdot \frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1})$

Langkah 3.4.4

Bagilah $8.88264396$ dengan $6$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 (\frac{\cos (\frac{π x}{6})}{1}))$

Langkah 3.4.5

Bagilah $\cos (\frac{π x}{6})$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (1.48044066 \cos (\frac{π x}{6}))$

Langkah 3.4.6

Kalikan $1.48044066$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 1.48044066 \cos (\frac{π x}{6})$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ dengan $- 2.82743338$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6}) = 0$ dengan $- 2.82743338$ .

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2.82743338$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2.82743338 \sin (\frac{π x}{6})}{- 2.82743338} = \frac{0}{- 2.82743338}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $\sin (\frac{π x}{6})$ dengan $1$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = \frac{0}{- 2.82743338}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 2.82743338$ .

$\sin (\frac{π x}{6}) = 0$

Langkah 6

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$\frac{π x}{6} = \arcsin (0)$

Langkah 7

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{π x}{6} = 0$

Langkah 8

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$π x = 0$

Langkah 9

Bagi setiap suku pada $π x = 0$ dengan $π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Bagilah setiap suku di $π x = 0$ dengan $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Langkah 9.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Langkah 9.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Bagilah $0$ dengan $π$ .

$x = 0$

Langkah 10

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$\frac{π x}{6} = π - 0$

Langkah 11

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{6}{π}$ .

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Sederhanakan $\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6}{π} \cdot \frac{π x}{6} = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2.1.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1.2.1

Faktorkan $π$ dari $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{6}{π} (π - 0)$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Sederhanakan $\frac{6}{π} (π - 0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = \frac{6}{π} π$

Langkah 11.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{6}{π} π$

Langkah 11.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 6$

Langkah 12

Penyelesaian untuk persamaan $\frac{π x}{6} = 0$ .

$x = 0, 6$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (0)}{6})$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Faktorkan $6$ dari $π (0)$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Langkah 14.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Langkah 14.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1.48044066 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Langkah 14.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Langkah 14.1.2.4

Bagilah $π \cdot (0)$ dengan $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π \cdot (0))$

Langkah 14.2

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$- 1.48044066 \cos (0)$

Langkah 14.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1.48044066 \cdot 1$

Langkah 14.4

Kalikan $- 1.48044066$ dengan $1$ .

$- 1.48044066$

Langkah 15

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = (5.4) \cos (\frac{π (0)}{6})$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $π (0)$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6})$

Langkah 16.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 (1)})$

Langkah 16.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{6 (π \cdot (0))}{6 \cdot 1})$

Langkah 16.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (0) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Langkah 16.2.1.2.4

Bagilah $π \cdot (0)$ dengan $1$ .

$f (0) = 5.4 \cos (π \cdot (0))$

Langkah 16.2.2

Kalikan $π$ dengan $0$ .

$f (0) = 5.4 \cos (0)$

Langkah 16.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (0) = 5.4 \cdot 1$

Langkah 16.2.4

Kalikan $5.4$ dengan $1$ .

$f (0) = 5.4$

Langkah 16.2.5

Jawaban akhirnya adalah $5.4$ .

$y = 5.4$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = 6$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π (6)}{6})$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1.48044066 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Langkah 18.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$- 1.48044066 \cos (π)$

Langkah 18.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- 1.48044066 (- \cos (0))$

Langkah 18.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 18.4

Kalikan $- 1.48044066 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1.48044066 \cdot - 1$

Langkah 18.4.2

Kalikan $- 1.48044066$ dengan $- 1$ .

$1.48044066$

Langkah 19

$x = 6$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 6$ adalah minimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f (6) = (5.4) \cos (\frac{π (6)}{6})$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (6) = 5.4 \cos (\frac{π \cdot 6}{6})$

Langkah 20.2.1.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$f (6) = 5.4 \cos (π)$

Langkah 20.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$f (6) = 5.4 (- \cos (0))$

Langkah 20.2.3

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$f (6) = 5.4 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 20.2.4

Kalikan $5.4 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (6) = 5.4 \cdot - 1$

Langkah 20.2.4.2

Kalikan $5.4$ dengan $- 1$ .

$f (6) = - 5.4$

Langkah 20.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 5.4$ .

$y = - 5.4$

Langkah 21

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = (5.4) \cos (\frac{π x}{6})$ .

$(0, 5.4)$ adalah maksimum lokal

$(6, - 5.4)$ adalah minimum lokal

Langkah 22