Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.2.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - \frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 3.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Langkah 3.2.6

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Langkah 3.2.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Langkah 3.2.8

Tambahkan $x^{- 2}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Langkah 3.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3.4

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.2.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 5.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x - \frac{1}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Langkah 6.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1$

Langkah 6.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku pada $x - \frac{1}{x} = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dalam $x - \frac{1}{x} = 0$ dengan $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Langkah 6.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Langkah 6.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Langkah 6.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 6.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 6.4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 6.4.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 6.4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 6.4.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 6.4.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1} + 1$

Langkah 10.1.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1 + 1$

Langkah 10.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2$

Langkah 11

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Langkah 12.2.1.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 14