Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{27} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $\frac{1}{27}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{27}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{3}{27}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{2}}{9} - 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{9}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{9}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{9}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $\frac{1}{9}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{9}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{9} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{9} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{9}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{2}{9}$ dan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9} + \frac{d}{d x} (- 9)$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9} + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $\frac{2 x}{9}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x}{9}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{27} - 9 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{27}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $\frac{1}{27}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{27}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{27}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.5.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{27} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Langkah 5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 \cdot 1$

Langkah 5.1.3.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{9} - 9$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x^{2}}{9} - 9$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x^{2}}{9} - 9 = 0$

Langkah 6.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{x^{2}}{9} = 9$

Langkah 6.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $9$ .

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 \cdot 9$

Langkah 6.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$9 \frac{x^{2}}{9} = 9 \cdot 9$

Langkah 6.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 9 \cdot 9$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$x^{2} = 81$

Langkah 6.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{81}$

Langkah 6.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{81}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Langkah 6.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 9$

Langkah 6.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 9$

Langkah 6.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 9$

Langkah 6.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 9, - 9$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 9, - 9$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 9$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2 (9)}{9}$

Langkah 10

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 9}{9}$

Langkah 10.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 11

$x = 9$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 9$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f (9) = \frac{{(9)}^{3}}{27} - 9 \cdot 9$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (9) = \frac{729}{27} - 9 \cdot 9$

Langkah 12.2.1.2

Bagilah $729$ dengan $27$ .

$f (9) = 27 - 9 \cdot 9$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 9$ dengan $9$ .

$f (9) = 27 - 81$

Langkah 12.2.2

Kurangi $81$ dengan $27$ .

$f (9) = - 54$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 54$ .

$y = - 54$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 9$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{2 (- 9)}{9}$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 9$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Faktorkan $9$ dari $2 (- 9)$ .

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9}$

Langkah 14.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9 (1)}$

Langkah 14.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 (2 \cdot (- 1))}{9 \cdot 1}$

Langkah 14.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{1}$

Langkah 14.1.2.4

Bagilah $2 \cdot (- 1)$ dengan $1$ .

$2 \cdot (- 1)$

Langkah 14.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2$

Langkah 15

$x = - 9$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 9$ adalah maksimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 9$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 9) = \frac{{(- 9)}^{3}}{27} - 9 \cdot - 9$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Naikkan $- 9$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 9) = \frac{- 729}{27} - 9 \cdot - 9$

Langkah 16.2.1.2

Bagilah $- 729$ dengan $27$ .

$f (- 9) = - 27 - 9 \cdot - 9$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 9$ dengan $- 9$ .

$f (- 9) = - 27 + 81$

Langkah 16.2.2

Tambahkan $- 27$ dan $81$ .

$f (- 9) = 54$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $54$ .

$y = 54$

Langkah 17

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{3}}{27} - 9 x$ .

$(9, - 54)$ adalah minimum lokal

$(- 9, 54)$ adalah maksimum lokal

Langkah 18