Kalkulus Contoh

$y = 2 \cos (x) + 2 \sin (x)$

Langkah 1

Tulis $y = 2 \cos (x) + 2 \sin (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 \cos (x) + 2 \sin (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 \cos (x) + 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 \sin (x) + 2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 2 \sin (x)$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Langkah 5

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 6

Pisahkan pecahan.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 7

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 8

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 9.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 10

Pisahkan pecahan.

$- 2 \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 11

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 12

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 2 \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

Langkah 13

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) + 2 = 0$

Langkah 14

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 \tan (x) = - 2$

Langkah 15

Bagi setiap suku pada $- 2 \tan (x) = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \tan (x) = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 15.2.1.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 15.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$\tan (x) = 1$

Langkah 16

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 17

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 18

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 19

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 19.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 19.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 19.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 19.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 20

Penyelesaian untuk persamaan $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Langkah 21

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{π}{4}) - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \sqrt{2} - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.3

Tulis kembali $- 1 \sqrt{2}$ sebagai $- \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2} - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 22.1.4

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 22.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{2} - 1 \sqrt{2}$

Langkah 22.1.6

Tulis kembali $- 1 \sqrt{2}$ sebagai $- \sqrt{2}$ .

$- \sqrt{2} - \sqrt{2}$

Langkah 22.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Langkah 23

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{π}{4}$ adalah maksimum lokal

Langkah 24

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{4}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} + 2 \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 24.2.1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} + 2 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 24.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2} + \sqrt{2}$

Langkah 24.2.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$

Langkah 24.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Langkah 25

Evaluasi turunan kedua pada $x = \frac{5 π}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{4}) - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{4})) - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 (- \sqrt{2}) - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \sqrt{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.5

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2} - 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 26.1.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$\sqrt{2} - 2 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 26.1.7

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 26.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\sqrt{2} - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\sqrt{2} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Langkah 26.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{2} - 1 (- \sqrt{2})$

Langkah 26.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\sqrt{2} + 1 \sqrt{2}$

Langkah 26.1.10

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2}$

Langkah 26.2

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2}$

Langkah 27

$x = \frac{5 π}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \frac{5 π}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 28

Tentukan nilai y ketika $x = \frac{5 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{5 π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{4}) + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- \cos (\frac{π}{4})) + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} + 2 \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 28.2.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} + 2 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 28.2.1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 28.2.1.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} + 2 (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Langkah 28.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2} - \sqrt{2}$

Langkah 28.2.2

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 28.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 \sqrt{2}$

Langkah 29

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = 2 \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{4}, 2 \sqrt{2})$ adalah maksimum lokal

$(\frac{5 π}{4}, - 2 \sqrt{2})$ adalah minimum lokal

Langkah 30